RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES EN RADICALES

También se le conoce como racionalizar una fracción con raíces en el denominador, que consiste en operar para eliminar los radicales del denominador de una fracción. Para ello se multiplica el numerador y el denominador por otra expresión de forma que al operar, se elimine la raíz del denominador.

Racionalización de un monomio

Para racionalizar un monomio de este tipo, se debe multiplicar el numerador y el denominador de la fracción por la raíz del denominador cuyo radicando se eleva a la diferencia entre el índice y el exponente. En el siguiente caso:

hay que multiplicar numerador y denominador por

{\sqrt {5}}

Después se despeja la raíz cuadrada del denominador ya que la cantidad subradical que es 5 elevada al cuadrado puede eliminar o despejar la raíz cuadrada:

Racionalización del tipo $\cfrac{a}{b\sqrt[n]{c^{m}}}$

Se multiplica numerador y denominador por $\sqrt[n]{c^{n-m}}$

Ejemplo

Racionalizar la expresión $\cfrac{2}{3\sqrt[5]{4}}$

El radicando $4$ lo ponemos en forma de potencia: $2^{2}$

Tenemos que multiplicar en el numerador y denominador por la raíz quinta de $2^{5-2}=2^{3}$

Multiplicamos los radicales del denominador, extraemos factores del radical y simplificamos la fracción.

$\cfrac{2}{3\sqrt[5]{4}}=\cfrac{2}{3\sqrt[5]{2^{2}}}=\cfrac{2\cdot \sqrt[5]{c^{3}}}{3\cdot \sqrt[5]{2^{2}}\cdot \sqrt[5]{2^{3}}}=\cfrac{2\cdot \sqrt[5]{8}}{3\cdot \sqrt[5]{2^{5}}}=\cfrac{2\cdot \sqrt[5]{8}}{3\cdot 2}=\cfrac{\sqrt[5]{8}}{3}$

Racionalización de binomio

Para racionalizar un binomio, se debe hacer un proceso similar al ejercicio anterior, multiplicar el numerador y denominador de la fracción por la expresión conjugada del denominador de la misma. En el siguiente ejemplo:

{\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {x}}}

hay que multiplicar el numerador y el denominador por

{{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}}

; este resultado es el que da el producto notable de los binomios conjugados.

Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador, quitamos paréntesis en el numerador y efectuamos la suma por diferencia en el denominador, por lo que obtenemos una diferencia de cuadrados.

$\cfrac{2}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}=\cfrac{2\cdot (\sqrt{2}+\sqrt{3})}{(\sqrt{2}-\sqrt{3})(\sqrt{2}+\sqrt{3})}=\cfrac{2\sqrt{2}+2\sqrt{3}}{(\sqrt{2}\, )^{2}-(\sqrt{3}\, )^{2}}$

En el denominador extraemos los radicandos y dividimos por $-1$ , es decir, cambiamos el numerador de signo.

$=\cfrac{2\sqrt{2}+2\sqrt{3}}{2-3}=\cfrac{2\sqrt{2}+2\sqrt{3}}{-1}=-2\sqrt{2}-2\sqrt{3}$

Racionalizar la expresión $\cfrac{2}{4-2\sqrt{2}}$

Multiplicamos y dividimos la fracción por el conjugado del denominador.

$\cfrac{2}{4-2\sqrt{2}}=\cfrac{2\cdot (4+2\sqrt{2})}{(4-2\sqrt{2})\cdot (4+2\sqrt{2})}$

Efectuamos la suma por diferencia en el denominador, realizamos las operaciones y simplificamos la fracción dividiendo por $2$ .

$=\cfrac{2\cdot (4+2\sqrt{2})}{4^{2}-(2\sqrt{2})^{2}}=\cfrac{2\cdot (4+2\sqrt{2})}{16-4\cdot 2}=\cfrac{2\cdot (4+2\sqrt{2})}{8}=\cfrac{4+2\sqrt{2}}{4}=\cfrac{2+\sqrt{2}}{2}$