OPERACIONES CON RADICALES

RESUELVE:

MULTIPLICACIÓN DE RADICALES

A la hora de multiplicar raíces o radicales, hay que tener presentes dos posibles casos:

Multiplicación de Radicales con los índices iguales

Este tipo de producto es el más sencillo y directo de los dos casos posibles.

Cuando los índices son iguales se procede a multiplicar “lo de afuera con lo de afuera” y “lo de adentro con lo de adentro”. Es decir, los pre-radicales o coeficientes se multiplican entre sí, y aparte multiplicamos los radicandos.

Ejemplos:

Vamos a multiplicar dos raíces cuadradas

ejemplo multiplicación de radicales con índices iguales

En este caso, simplemente realizamos el producto de “lo de adentro con lo de adentro” dando el siguiente resultado:

ejemplo de multiplicación de radicales con los índices iguales resuelto

Realicemos otra multiplicación pero con radicales que posean coeficientes numéricos

segundo ejemplo de multiplicación de radicales con los índices iguales

Lo anterior plantea el producto de dos términos que poseen radicales con índices iguales, en este caso raíces cúbicas.

A diferencia del anterior ejemplo, se poseen coeficientes numéricos (los números 8 y 9 que están por fuera de las raíces).

Para resolverlo, se procede a multiplicar “lo de afuera con lo de afuera” y “lo de adentro con lo de adentro” de la siguiente manera:

segundo ejemplo de multiplicación de radicales con ídnices iguales resuelto

Se puede apreciar que “lo de afuera con lo de afuera” se encuentra representado por la flecha verde, aludiendo que se multiplicó el 8 por 9, y que “lo de adentro con lo de adentro” corresponde a la flecha azul, indicando que se realizó el producto de 2 por 7.

Multiplicación de Radicales con índices diferentes

Este tipo de multiplicación no se puede realizar de manera directa como se hace cuando los índices son iguales.

Se deben convertir los radicales o raíces a una expresión con índices iguales antes de multiplicarse entre sí.

El procedimiento consiste en calcular el mínimo común múltiplo de los índices diferentes y convertir los radicales a una expresión con los índices iguales.

Ejemplos:

ejemplo de multiplicación de radicales con índice diferente

Se observa que los índices de los radicales son diferentes, 6 y 4, por lo tanto se procede a calcular el mínimo común múltiplo de dichos valores.

Elige el método que prefieras para calcular el MCM de dos números.

Una forma podría ser escribir los múltiplo de 6 y 4, con el fin de detectar cuál es el primer múltiplo común entre ellos:

Otra manera de calcular el MCM es realizar la descomposición simultánea de ambos números:

descomposición en factores primos de manera simultánea de 4 y 6

Bien, utilizando el método de nuestra elección llegamos a la conclusión de que el mínimo común múltiplo de 6 y 4 es 12

El siguiente paso consiste en convertir los radicales iniciales en un equivalente con índice 12

análisis del ejemplo de multiplicación de radicales con índice diferente

modificación de los índices de los radicales al mínimo común múltiplo

RESOLVER:

DIVISIÓN DE RADICALES

División de radicales con el mismo índice

Para dividir radicales con el mismo índice se dividen los radicandos y se deja el mismo índice.

$\displaystyle \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$

Ejemplo:

$\displaystyle \frac{\sqrt[6]{128}}{\sqrt[6]{16}} = \sqrt[6]{\frac{128}{16}} = \sqrt[6]{\frac{2^7}{2^4}} = \sqrt[6]{2^3} = \sqrt{2}$

Como los dos radicales tienen el mismo índice lo ponemos todo en un radical con el mismo índice. Descomponemos en factores, hacemos la división de potencias con la misma base.

Simplificamos el radical dividiendo el índice y el exponente del radicando por $3$

División de radicales con distinto índice

Primero se reducen a índice común y luego se dividen.

Ejemplos:

1 $\displaystyle \frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt{2}} =$

En primer reducimos a común índice por lo que tenemos que calcular el mínimo común múltiplo de los índices, que será el común índice. $\text{m.c.m.}(3, 2) = 6$ .

Dividimos el común índice $(6)$ por cada uno de los índices ( $3$ y $2$ ) y cada resultado obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes ( $1$ y $1$ )

Descomponemos el $4$ en factores para poder hacer la división de potencias con la misma base y dividimos.

$\displaystyle \frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt{2}} = \sqrt[6]{\frac{4^2}{2^3}} = \sqrt[6]{\frac{\left(2^2 \right)^2}{2^3}} = \sqrt[6]{\frac{2^4}{2^3}} = \sqrt[6]{2}$

2 $\displaystyle \frac{\sqrt{256}}{\sqrt[3]{16}} =$

Realizamos los mismos pasos del ejercicio anterior.

$\displaystyle \frac{\sqrt{256}}{\sqrt[3]{16}} = \sqrt[6]{\frac{256^3}{16^2}} = \sqrt[6]{\frac{\left( 2^8 \right)^3}{\left( 2^4 \right)^2}} = \sqrt[6]{\frac{2^{24}}{2^8}}$