Intervalos y entornos

Un intervalo o un entorno de números reales es un conjunto de números reales que corresponden a una parte de la recta real. Por lo tanto, un intervalo o un entorno es un subconjunto de los números reales.

Intervalos

Llamamos intervalo al conjunto de números reales comprendidos entre otros dos a y b que denominamos extremos del intervalo.

Existen distintos tipos de intervalos dependiendo de si incluyen o no a los extremos:

• Intervalo abierto: es aquel intervalo en que los extremos no forman parte del mismo. Es decir, el intervalo abierto con extremos a y b, que escribimos como (a,b), es aquel constituido por todos los números reales mayores que a y menores que b.

(a,b)={x∈R|a<x<b}

• Intervalo cerrado: es aquel intervalo en que los extremos forman parte del mismo. Es decir, el intervalo cerrado con extremos a y b, que escribimos como [a,b], es aquel constituido por todos los números reales mayores o iguales que a y menores o iguales que b.

[a,b]={x∈R|a≤x≤b}

•  Intervalo semiabierto: es aquel intervalo en que uno de los extremos forma parte del mismo y el otro no. El intervalo semiabierto por la izquierda con extremos a y b, que escribimos como (a,b], es aquel constituido por todos los números mayores que a y menores o iguales que b. 

(a,b]={x∈R|a<x≤b}

El intervalo semiabierto por la derecha con extremos a y b, que escribimos como [a,b), es aquel constituido por todos los números mayores o iguales que a y menores que b. 

[a,b)={x∈R|a≤x<b}

Semirrectas

Una semirrecta es el conjunto de todos los números reales mayores, mayores o iguales, menores o menores o iguales que un número real dado. 

(−∞,a)={x∈R|−∞<x<a}

(−∞,a]={x∈R|−∞<x≤a}

(a,∞)={x∈R|a<x<∞}

[a,∞)={x∈R|a≤x<∞}

Entornos

Los entornos son otra forma de expresar los intervalos abiertos. Llamamos entorno de centro a y radio ϵ, y lo escribimos como E(a,ϵ) o Eϵ(a), al conjunto de números reales que están a una distancia de a menor que ϵ. Por lo tanto, podemos expresar el entorno como un intervalo abierto E(a,ϵ)= Eϵ(a)= (a–ϵ,a+ϵ).

Además, existe un tipo de entornos asimétricos que solo incluyen los números menores o mayores que el centro a. Son los llamados entornos laterales por la izquierda o por la derecha:

E−(a,ϵ)= Eϵ(a−)= (a–ϵ,a)

E+(a,ϵ)= Eϵ(a+)= (a,a+ϵ)

Por último destacamos otro tipo de entornos, los entornos reducidos, cuya definición es similar a la de entorno pero excluyendo el centro a:

E∗(a,ϵ)= Eϵ(a∗)= (a–ϵ,a)∪(a,a+ϵ)

Ejercicio 1: Intervalos

Escribe las siguientes desigualdades en forma de intervalo.

(a) x≤5

(b) 2<x≤9

(c) x≥−1

(d) −5<x<−1

Ejercicio 2: Desigualdades

Escribe en forma de desigualdad los siguientes intervalos:

(a) (1,∞)

(b) (−7,2]

(c) [1,5]

(d) [−7,∞)

Ejercicio 3: Desigualdades

Escribe los siguientes intervalos en forma de desigualdad.

(a) (−1,2)

(b) (−∞,−4]

(c) (−2,7]

(d) (−5,∞)

Ejercicio 4: Intervalos

Escribe la representación en forma de intervalo de los siguientes conjuntos:

(a) Números reales menores que 2.

(b) Números reales comprendidos entre −7 y 2, ambos excluidos.

(c) Números reales comprendidos entre 5 y 10, el primero incluido y el segundo excluido.

(d) Números reales mayores o iguales que −2.

Ejercicio 5: Intervalos

Indica cuáles de los siguientes números están incluidos en el intervalo (−1,7]:

8–√, 4,333…, −1, 0, 0,5, 7, 195

Ejercicio 7: Intervalos y semirrectas

Escribe en forma de intervalo o semirrecta los números reales que cumplen las siguientes condiciones.

(a) Mayores que −1 y menores o iguales que 2.

(b) Mayores que 17.

(c) Mayores o iguales que 4 y menores o iguales que 7.

(d) Menores o iguales que 1.

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