OPERACIONES CON CONJUNTOS

 

A veces es conveniente representar los conjuntos gráficamente, mediante un diagrama, para no perdernos entre símbolos. La representación más usada es la conocida con el nombre de Diagrama de Venn: el conjunto universal se representa mediante una superficie rectangular y los conjuntos con los que estamos trabajando, mediante círculos o superficies cerradas. Los elementos correspondientes al conjunto se colocan en la superficie que representa al conjunto y el resto se colocan fuera de ella. Así, si U = {0,1,2,3,4,5,6} y A = {2,4,6}, entonces el diagrama correspondiente sería:

En la siguiente escena se muestra el conjunto universal U, correspondiente a los números que aparecen en las caras de un dado.

Si introduces en el contador un número desde el 1 hasta el 10, obtendrás la representación, mediante un diagrama de Venn, de los conjuntos A1, A2, ...A10 descritos a continuación por comprensón:

A1 = {1,3,5}, ..., A10 = {1,2,3,4,6}.

Expresa por extensión y por comprensión cada uno de los conjuntos que aparezcan.

Representar, en cada caso, mediante un diagrama de Venn, los conjuntos dados:

a) U = {a,b,c,d,e,f}, A = {a,b,c}, B = {a,b} y C =  {a,c}.

b)  U = {a,b,c},  X = {a,b,c}, Y = {a,b} y  Z = {b}.

c)  U = {r,s,t,u},  R = {r,s,t}, S = {s} y T = {s,t,u}.

d) U = {x / x es un polígono del plano}, C = {x U / x es un cuadrilátero},


    R= {x U / x es un rombo},  N = {x U / x es un rectángulo}, Q = {x U / x es un cuadrado}.

e) U = {x / x es una letra de la palabra "abecedario"}, V = {d}, W = {c,d}, X = {a,b,c}, Y = {a,b} y Z = {a,b,d}

Consideremos U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} como conjunto universal y A{1,2,3,4}, B = {2,4,6,8} y C = {3,4,5,6}. Halla:


a) A  B, B  A, A  C, C  A, B  C, C  B. ¿La unión de conjuntos cumple la propiedad conmutativa?

b)  B  B, A  A, C  C. ¿La unión de conjuntos cumple la propiedad idempotente?

c) (A  B)  C, A  (B  C). ¿La unión de conjuntos cumple la propiedad asociativa?

d)  A  Ø, C  Ø, , A  U, C  U. ¿A qué conclusión llegas?

Consideremos U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} como conjunto universal y A = {1,2,3,4}, B = {2,4,6,8} y C = {3,4,5,6}.

Halla los conjuntos B  Ø, A  Ø, C  Ø. ¿A qué conclusión llegas?

 Halla los conjuntos A  U, B  U, C  U. ¿A qué conclusión llegas?

 Halla los conjuntos A  (B  A), B  (B  A), C  (B  C)

Consideremos U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} como conjunto universal.

Sean A = {1,2,3,4}, B = {2,4,6,8} y C = {3,4,5,6}. Halla los conjuntos:

A – B, C – A, B –  C, B – A, C – A,


A – A, B – B, A – Ø, B – Ø, C – Ø,

Ø  – B, Ø  – A, Ø  – C, A –U, B –U, C –U,

U  – B, U  – C, U  – A,


A – (B  C), (A – B)  (A – C), (A – B)  C,


(A  B)  –  C, B  – ( A  C),  (B – A)  (B – C)

A continuación, podemos dar una definición más formal de la operación denominada diferencia simétrica:

$A\triangle B =\{x / (x \in A \; \text{y}\; x\notin B)\; \text{o}\; (x \in B \; \text{y}\; x\notin A)\}$

Sean los conjuntos:

$\begin{aligned} K &=\{x/1<x<4\; ; \; x\in \mathbb{N}\}\\\\ L&=\{x/x\geq 4\; ; \; x\in \mathbb{N}\} \end{aligned}$

Entonces:

$K\triangle L=\{2,3,4,5\ldots \}$

GRAFICA K△L

Consideremos los siguientes conjuntos:

• $A=\{2,3,5,7,11\}$A, equals, left brace, 2, comma, 3, comma, 5, comma, 7, comma, 11, right brace
• $B=\{1,3,5,7,9,11,13\}$B, equals, left brace, 1, comma, 3, comma, 5, comma, 7, comma, 9, comma, 11, comma, 13, right brace
• $C=\{2,4,6,8,10,12\}$

DETERMINA Y GRAFICA:

A△B; A△C; B△C

Consideremos U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} como conjunto universal y A = {1,2,3,4}, B = {2,4,6,8} y C = {3,4,5,6}. Halla los conjuntos:

a) A ^l, B ^l, C ^l, U ^l, Ø ^l, (A ^l) ^l, (B ^l) ^l, (C ^l) ^l,


b) A  A ^l, A  A ^l, B  B ^l, B  B ^l, C  C ^l, C  C ^l,

c) A – B, A  B ^l,  B – C, B  C ^l, A – C, A  C ^l.

d) (A  C) ^l,  A ^l   C ^l, (B   C) ^l, B ^l   C ^l,


e) (B  C) ^l, B ^l  C ^l, (A C) ^l, A ^l  C ^l,


f) (B – A) ^l, B ^l – A ^l, (C – B) ^l, B ^l – C ^l

Propiedades de las operaciones con conjuntos. Anexo

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Propiedad: Unión intersección Asociativa (A  B)  C = A  (B  C) (A  B)  C = A  (B  C) Conmutativa A  B = B  A A  B = B  A Idempotente A  A = A A  A =A Absorción A  (B  A) = A A  (A  B) = A Distributiva A  (B  C) = (A  B)  (B  A) A  (B  C) = (A  B)  (A  C) Neutralidad A  Ø = A A  U = A A   U = U A  Ø = Ø Complementación A  A l = U A   A l = Ø Ley de De Morgan (A  B) l = A l   B l (A  B) l = A l  B l Además se cumple:   (A l) l = A,       A  -  B  =  A  B l,      A -  (B  C) = (A - B)  (A - C),     A -  (B   C) = (A - B)  (A - C) Dados los conjuntos: A = {1, 2, 3, 5, 6, 7} ; B = {-1, 0, 2, 7, 8, 9} y C = {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 5} Calcula: a) A È B         b) B Ç C         c) A – (B È C)            d) B ¢ Ç (A D C)

GRAFICA Y RESPONDE A LA SIGUIENTE SITUACIÓN:

A)Se sabe que, de los 65 alumnos del sexto curso, a 30 les gusta la Biología, a 40 las Matemáticas y a 10 les gustan ambas asignaturas. a) ¿A cuántos alumnos les gusta al menos una de esas asignaturas? b) ¿A cuántos les gusta solamente la biología? c) ¿A cuántos les gusta exactamente una de esas dos? d) ¿A cuántos alumnos no les gustan ninguna de esas asignaturas?

B)Se encuesta a 150 familias consultando por el nivel educacional actual de sus hijos.
Los resultados obtenidos son:
    ▪ 10 familias tienen hijos en Enseñanza Básica, Enseñanza Media y Universitaria.
    ▪ 16 familias tienen hijos en Enseñanza Básica y Universitaria.
    ▪ 30 familias tienen hijos en Enseñanza Media y Enseñanza Básica.
    ▪ 22 familias tienen hijos en Enseñanza Media y Universitaria.
    ▪ 72 familias tienen hijos en Enseñanza Media.
    ▪ 71 familias tienen hijos en Enseñanza Básica.
    ▪ 38 familias tienen hijos en Enseñanza Universitaria.
Con la información anterior, deducir:
- El número de familias que solo tienen hijos universitarios.
- El número de familias que tienen hijos solo en dos niveles.
- El número de familias que tienen hijos que no estudian.

C)En una fiesta a la que asistieron 131 invitados, una persona que estaba aburrida observó que de los 79 invitados que comieron pollo, 28 comieron solamente pollo. Entre las 60 personas que comieron carne vacuna, hubo 21 invitados que también comieron pescado. De los 50 que comieron pescado, 12 comieron sólo pescado. Por alguna razón, 9 comieron las tres cosas.

a) ¿Cuántos comieron pollo y carne vacuna?
b) ¿Cuántas comieron solo pollo y carne vacuna?
c) ¿Cuántos comieron sólo carne vacuna?
d) ¿Cuántas no comieron ninguna de las tres cosas?
e) ¿Cuántas comieron una sola cosa?
f) ¿Cuántas comieron solo dos cosas?

Dados los conjuntos:

A = {1, 2, 3, 5, 6, 7} ; B = {-1, 0, 2, 7, 8, 9} y C = {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 5}

Definir por extensión y graficar:

a) A È B          b) B Ç C          c) A – (B È C)            d) B ¢ Ç (A D C)

e) A - (C -B` )´

Dados los conjuntos  A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} y B = {1, 2, 7, 8, 9}. Calcula A D B.